题目

实数 a,b 满足 $ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}·\sqrt{b^2+a}=0$，求 $a\sqrt{b^2+a}+b\sqrt{a^2+b}$ 的值。

解答

1、先求 a、b 范围

• 易知 ab<=0，代入可知 a、b 不为 0，所以 ab<0
• a、b 对称，不妨设 a<b，便有 $a<0<b$
• 为了方便，令 $x=-a>0，y=b>0$，原等式变为 $$ -xy+ \sqrt{1-xy}+\sqrt{(x^2+y)(y^2-x)}=0 ………….(1)$$要求的是 $$ y\sqrt{x^2+y}-x\sqrt{y^x-x}，即 \sqrt{x^2y^2+y^3}-\sqrt{x^2y^2-x^3} ……..(2) $$

2、展开配方

• (1) 式变形得：$$ \sqrt{(x^2+y)(y^2-x)} = xy- \sqrt{1-xy} ………(3) $$
• 两边平方并消除得：$$ x^3-y^3+1=2xy\sqrt{1-xy}$$
• 再次平方并消除得：$$ x^6-2x^3y^3+y^6+2x^3-2y^3+1=4x^2y^2-4x^3y^3 ………..(4)$$
• (4) 式两边同时加上 $4x^3y^3+4y^3$ 得：$$ x^6+2x^3y^3+y^6+2x^3+2y^3+1=4(x^2y^2+y^3) $$ 配方得： $$(x^3+y^3+1)^2=4(x^2y^2+y^3) ……..(5)$$
• 同理，(4)式两边同时加上 $4x^3y^3-4x^3$，并配方 $$(x^3+y^3-1)^2=4(x^2y^2-x^3) ………(6)$$

3、开方

• 最后来证明 $x^3+y^3>=1$
• 首先由 (1) 式可知 $x<=y^2，xy<=1$
  • 故 $x^3<=x^2y^2<=1,x<=1$
  • 故 $y>=\sqrt x>=x^2$
• 由 (3) 式可知 $xy- \sqrt{1-xy}>=0$，消除根号得：$$ x^2y^2+xy>=1$$
• 又有 $$x^3+y^3-x^2y^2-xy=(y-x^2)(y^2-x)>=0$$
• 故 $$x^3+y^3>=x^2y^2+xy>=1$$
• 将 (5)、(6) 式开方相减即得 (2) 式结果为 1