1012：至少有 1 位重复的数字（2230 分）

2019-03-17 约 730 字预计阅读 2 分钟次阅读

力扣第 128 场周赛第 4 题

题目

给定正整数 n，返回在 [1, n] 范围内具有 至少 1 位 重复数字的正整数的个数。

示例 1：

输入：n = 20
输出：1
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 20）只有 11 。

示例 2：

输入：n = 100
输出：10
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 100）有 11，22，33，44，55，66，77，88，99 和 100 。

示例 3：

输入：n = 1000
输出：262

提示：

1 <= n <= 10⁹

相似问题：

2999：统计强大整数的数目（2351 分）

分析

#1

可以先求 [0, n] 范围内数字不重复的个数，再用 n+1 减去即可。

求范围内数字满足某种性质的个数，容易想到用数位 dp，令 dfs(pos, state, bound) 代表某个状态下的结果：

遍历到 n 的第 pos 位
前面取的数的集合状态是 state
bound 代表前面取的数是否贴着 n 的上界

即可递归。

特别注意前置 0 不应该加入到 state 中。

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def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
    @lru_cache(None)
    def dfs(pos, state, bound):
        if pos==len(s):
            return 1
        res, cur = 0, int(s[pos])
        up = cur if bound else 9
        for x in range(up+1):
            if not state&(1<<x):
                state2 = 0 if x==state==0 else state|(1<<x) 
                res += dfs(pos+1, state2, bound and x==cur)
        return res

    s = str(n)
    return n+1-dfs(0, 0, True)

288 ms

#2

也可以利用排列组合知识直接分段计算。例如对于 n=8382：

[0, 1000) 的数字不重复的个数：9*(perm(9,0)+perm(9,1)+perm(9,2))
[1000, 8000) 的对应个数：7*perm(9,3)
[8000, 8300) 的对应个数：3*perm(8,2)
[8300, 8380) 的对应个数：7*perm(7,1)
[8380, 8382) 的对应个数：0

具体实现时，假设 s=str(n) 的长度为 m：

先计算 0-10^(m-1) 的对应个数
然后遍历 i，在 s[:i] 不变的情况下，求 s[i] 能取的值，即在 [0, 原 s[i]) 区间且和 s[:i] 不同的值，然后求 s[i+1:] 的可能排列个数

特别的：

i==0 时，s[i] 不能取 0
i==m-1 时，s[i] 可以取到原值
s[:i] 已经有重复数字时，直接终止遍历

解答

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def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
    s = str(n)
    m = len(s)
    res = 9*sum(perm(9, k) for k in range(m-1))
    vis = set()
    for i in range(m):
        cur = int(s[i])
        cand = set(range(int(i==0), cur+int(i==m-1)))-vis
        res += len(cand)*perm(9-i, m-i-1)
        if cur in vis:
            break
        vis.add(cur)
    return n-res

36 ms

目录

1012：至少有 1 位重复的数字（2230 分）

题目

分析

#1

#2

解答