1006：笨阶乘（1407 分）

力扣第 127 场周赛第 2 题

题目

通常，正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。例如，factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。

相反，我们设计了一个笨阶乘 clumsy：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：乘法(*)，除法(/)，加法(+)和减法(-)。

例如，clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。

另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。

实现上面定义的笨函数：给定一个整数 N，它返回 N 的笨阶乘。

示例 1：

输入：4
输出：7
解释：7 = 4 * 3 / 2 + 1

示例 2：

输入：10
输出：12
解释：12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1

提示：

1. 1 <= N <= 10000
2. -2^31 <= answer <= 2^31 - 1 （答案保证符合 32 位整数。）

分析

#1

先考虑递归：

clumsy(N-4)	= (N-4) * (N-5) // (N-6) + (N-7) - (N-8) * (N-9) // (N-10) +  ...

clumsy(N) 	= N * (N-1) // (N-2) + (N-3) - (N-4) * (N-5) // (N-6) + (N-7) - (N-8) * (N-9) // (N-10) +  ...
			= clumsy(N-4) + N * (N-1) // (N-2) + (N-3) - (N-4) * (N-5) // (N-6) * 2

当 N >= 7 时递推式成立，因此再考虑 N <= 6 的情况即可。

1
2
3
4

def clumsy(self, N: int) -> int:
	if N <= 6:
		return [1, 2, 6, 7, 7, 8][N-1]
	return self.clumsy(N-4) + N * (N-1) // (N-2) + (N-3) - (N-4) * (N-5) // (N-6) * 2

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#2

还有个巧妙的想法，N * (N-1) // (N-2) 能直接算出来。

N * (N - 1) // (N - 2) 
= (N * N - N ) // (N - 2)
= ((N - 2) * (N + 1) + 2) // (N - 2)
= N + 1 + 2 // (N - 2)

故 N >= 5 时， N * (N-1) // (N-2) = N + 1。

因此：

对于 N >= 9:				clumsy(N) = clumsy(N-4) + (N+1) + (N-3) - (N-3) * 2 
									  = clumsy(N-4) + 4

对于 N = 5、9、13、...		clumsy(N) = clumsy(5) + N - 5 = N + 2
对于 N = 6、10、14、...		clumsy(N) = clumsy(6) + N - 6 = N + 2
对于 N = 7、11、15、...		clumsy(N) = clumsy(7) + N - 7 = N - 1
对于 N = 8、12、16、...		clumsy(N) = clumsy(8) + N - 8 = N + 1

再考虑 N <= 4 的情况即可。

解答

1
2

def clumsy(self, N: int) -> int:
	return [1, 2, 6, 7][N-1] if N <= 4 else N + [1, 2, 2, -1][N % 4]

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