0902：最大为 N 的数字组合（1989 分）

力扣第 101 场周赛第 3 题

题目

给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。

返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。

示例 1：

输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

示例 2：

输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。

示例 3:

输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1

提示：

• 1 <= digits.length <= 9
• digits[i].length == 1
• digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数
• digits 中的所有值都 不同
• digits 按 非递减顺序 排列
• 1 <= n <= 109

分析

#1

• 典型的数位 dp，令 dfs(i, st, bd) 代表某个状态下的结果：
  • 遍历到 n 的第 i 位
  • st 代表前面是否取了数
  • bd 代表前面取的数是否贴着 n 的上界
• 递归即可

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class Solution:
    def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(i,st,bd):
            if i==len(s):
                return st
            res = 0
            up = s[i] if bd else '9'
            for x in digits:
                if x>up:
                    break
                res += dfs(i+1,1,bd and x==up)
            if not st:
                res += dfs(i+1,0,0)
            return res

        s = str(n)
        return dfs(0,0,1)

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#2

• 也可以利用排列组合知识分段计算
• 例如对于 n=7382，digits=[“1”,“3”,“5”,“7”]：
  • [0, 1000) 的对应个数：4+4^2+4^3
  • [1000, 7000) 的对应个数：3*4^3
  • [7000, 7300) 的对应个数：1*4^2
  • [7300, 7380) 的对应个数：4*4
  • [7380, 7382) 的对应个数：0
• 具体实现时，设 s=str(n) 的长度为 m
  • 先计算 0 到 10^(m-1) 的对应个数
  • 遍历 i，固定 s[:i] 不变，求能取的比 s[i] 小的值，再乘以后面的排列个数
  • 一旦 s[i] 不在 digits 中，就已经统计完毕了
• 为了方便，可以先将 n 加 1，变为开区间

解答

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class Solution:
    def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
        s = str(n+1)
        m,k = len(s),len(digits)
        res = (pow(k,m)-k)//(k-1) if k>1 else k*(m-1)
        for i,c in enumerate(s):
            w = sum(x<c for x in digits)
            res += w*pow(k,m-1-i)
            if c not in digits:
                break
        return res

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