力扣第 552 题
题目
可以用字符串表示一个学生的出勤记录，其中的每个字符用来标记当天的出勤情况（缺勤、迟到、到场）。记录中只含下面三种字符：
'A'：Absent，缺勤'L'：Late，迟到'P'：Present，到场
如果学生能够 同时 满足下面两个条件，则可以获得出勤奖励：
- 按 总出勤 计，学生缺勤（
'A'）严格 少于两天。
- 学生 不会 存在 连续 3 天或 连续 3 天以上的迟到（
'L'）记录。
给你一个整数 n ，表示出勤记录的长度（次数）。请你返回记录长度为 n 时，可能获得出勤奖励的记录情况 数量 。答案可能很大，所以返回对 109 + 7 取余 的结果。
示例 1：
输入：n = 2
输出：8
解释：
有 8 种长度为 2 的记录将被视为可奖励：
"PP" , "AP", "PA", "LP", "PL", "AL", "LA", "LL"
只有"AA"不会被视为可奖励，因为缺勤次数为 2 次（需要少于 2 次）。
示例 2：
输入：n = 1
输出：3
示例 3：
输入：n = 10101
输出：183236316
提示：
相似问题：
分析
#1
- 按最后一个字符递推
- 令 f[i][j][k] 代表长度 i，有 j 个 ‘A’ 且末尾 k 个连续 ‘L’ 的个数，即可递推
- 可以用滚动数组优化掉 i，还可以将 j 和 k 合并为一维
1
2
3
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6
7
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class Solution:
def checkRecord(self, n: int) -> int:
mod = 10**9+7
f = [1,0,0,0,0,0]
for _ in range(n):
f = [sum(f[:3])%mod,f[0],f[1],sum(f)%mod,f[3],f[4]]
return sum(f)%mod
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550 ms
#2
这是完全的线性递推关系，还可以用矩阵快速幂优化的通用模板
解答
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mod = 10**9+7
class MatPow:
def __init__(self,A): # k 阶递推式需要给定前 k*2 项
k = len(A)//2
self.f = A[:k]
self.A = A
self.g = self.gen(A)[::-1]
def gen(self,A): # Berlekamp-Massey 算法，给定前 k*2 项 A，返回符合的最短系数组 g
pre_c = []
pre_i, pre_d = -1, 0
g = []
for i,a in enumerate(A):
d = (a-sum(x*A[i-1-j] for j,x in enumerate(g)))%mod
if d == 0:
continue
if pre_i<0: # 首次算错，初始化 g 为 i+1 个 0
g = [0]*(i+1)
pre_i,pre_d = i,d
continue
bias = i-pre_i
old_len = len(g)
new_len = bias + len(pre_c)
if new_len>old_len: # 递推式变长了
tmp = g[:]
g += [0]*(new_len-old_len)
delta = d*pow(pre_d,-1,mod)%mod
g[bias-1] = (g[bias-1]+delta)%mod
for j,c in enumerate(pre_c):
g[bias+j] = (g[bias+j]-delta*c)%mod
if new_len>old_len:
pre_c = tmp
pre_i,pre_d = i,d
return g
def get(self,n): # Kitamasa 算法，给定前 k 项 f 和系数组 g，求第 n 项
def compose(A,B): # 根据 g(n) 的系数组 A 和 g(m) 的系数组 B 计算 g(n+m) 的系数组
C = [0]*k
for a in A:
for j,b in enumerate(B):
C[j] = (C[j]+a*b)%mod
B = [((B[i-1] if i else 0)+B[-1]*g[i])%mod for i in range(k)]
return C
f,g = self.f,self.g
if n<len(f):
return f[n]%mod
k = len(g)
if k == 0:
return 0
if k == 1:
return f[0]*pow(g[0],n,mod)%mod
res = [0]*k
C = [0]*k
res[0] = C[1] = 1
while n:
res = compose(C,res) if n&1 else res
C = compose(C,C)
n >>= 1
return sum(a*b for a,b in zip(res,f))%mod
class Solution:
def checkRecord(self, n: int) -> int:
A = [1]
f = [1,0,0,0,0,0]
for _ in range(11):
f = [sum(f[:3])%mod,f[0],f[1],sum(f)%mod,f[3],f[4]]
A.append(sum(f)%mod)
mp = MatPow(A)
return mp.get(n)
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10 ms